10.7 Perhitungan untuk Penjadualan dengan Leads, Lags and Windows



Tabel 10-9 berisi deskripsi algoritma perhitungan yang diperlukan untuk penjadualan jalur kritis dengan lead, tertinggal dan Windows. Deskripsi ini mengasumsikan representasi aktivitas-on-node proyek jaringan, karena representasi ini jauh lebih mudah untuk digunakan dengan hubungan didahulukan rumit. Urutan hubungan yang mungkin diakomodasi oleh prosedur yang terkandung dalam Tabel 10-9 yang finish-to-start leads, start-to-start leads, finish-to-finish lags dan start-to-finish lags. Windows untuk earliest starts atau latest finishes juga ditampung. Memasukkan didahulukan lainnya dan jenis window dalam prosedur penjadualan juga mungkin seperti yang dijelaskan dalam Bab 11. 


Dengan representasi aktivitas-on-node, kita mengasumsikan bahwa inisiasi dan terminasi aktivitas termasuk untuk menandai awal dan akhir proyek. Set prosedur yang dijelaskan dalam Tabel 10-9 tidak menyediakan untuk membelah otomatis kegiatan.


Langkah pertama dalam algoritma penjadualan adalah untuk memilah kegiatan seperti tidak ada aktivitas nomor lebih tinggi mendahului aktivitas yang lebih rendah nomor. Dengan kegiatan bernomor, jangka waktu yang dapat dinotasikan D (k), di mana k adalah jumlah dari suatu kegiatan. Informasi kegiatan lainnya juga dapat direferensikan dengan jumlah aktivitas. 

Perhatikan bahwa peristiwa simpul yang digunakan dalam aktivitas-on-cabang representasi yang tidak diperlukan dalam kasus ini.

Perhitungan forward pass menghitung waktu earliest start (ES (k)) dan waktu earliest finish (EF (k)) untuk setiap kegiatan pada gilirannya (Tabel 10-9). Dalam menghitung waktu earliest start dari kegiatan k, waktu earliest start window (WES), waktu earliest finish window (WEF), dan masing-masing hubungan berbagai diutamakan harus dipertimbangkan. 

Kendala pada waktu selesai dimasukkan dengan mengidentifikasi kali selesai minimum dan kemudian mengurangkan durasi aktivitas. Sebuah standar awal waktu mulai dari hari 0 juga diasuransikan untuk semua kegiatan. 

Langkah kedua dalam prosedur ini adalah untuk mengidentifikasi awal menyelesaikan setiap kegiatan saatnya (EF (k)). Perhitungan backward pass melanjutkan dengan cara yang sangat mirip dengan mereka yang forward pass (Tabel 10-9). Dalam backward pass, latest finish dan waktu the latest start untuk setiap kegiatan dihitung. Dalam menghitung waktu latest finish, waktu latest start diidentifikasi yang konsisten dengan kendala didahulukan waktu kegiatan dimulai. 

Perhitungan ini memerlukan minimisasi berulang kali window yang berlaku dan semua kegiatan penggantinya. Sebuah cek untuk Jadual kegiatan layak juga dapat dikenakan pada saat ini: jika waktu late start kurang dari waktu early start (LS (k) Hasil perhitungan forward pass dan backward pass adalah waktu early start, waktu latest start, waktu earliest finish time, dan latest finish untuk setiap kegiatan terbaru. Float aktivitas dihitung sebagai waktu latest start kurang dari waktu early start. Perhatikan bahwa kendala window dapat berperan dalam menetapkan jumlah float, sehingga kegiatan tanpa float apapun baik mungkin terletak pada jalur kritis atau dibatasi oleh Windows diijinkan.
 

Untuk mempertimbangkan kemungkinan pemisahan kegiatan, berbagai formula untuk forward pass dan backward pass di Tabel 10-9 harus dimodifikasi. Misalnya, dalam mempertimbangkan kemungkinan pemisahan aktivitas karena start-to-start(SS)-lead, adalah penting untuk memastikan bahwa kegiatan sebelumnya telah berlangsung selama setidaknya periode lead diperlukan. 

Jika aktivitas sebelumnya terpecah dan kegiatan sub-pertama tidak berlangsung untuk jangka waktu cukup lama, maka aktivitas berikut ini tidak bisa mulai sampai pertama plus kedua sub-kegiatan telah berjalan untuk jangka waktu sama dengan SS (i, k) . Jadi, dalam pengaturan waktu earliest start untuk kegiatan, perhitungan memperhitungkan durasi subactivity pertama (DA (i)) untuk sebelumnya kegiatan yang melibatkan start-to-start lead. Aljabar, istilah dalam perhitungan waktu earliest start yang berkaitan dengan start-to-start kendala didahulukan (ES (i) + SS (i, k)) memiliki dua bagian dengan kemungkinan pemisahan kegiatan:
 

(10.13) ES (i) + SS (i, k)
(10.14) EF (i) - D (i) + SS (i, k) untuk kegiatan membagi sebelumnya dengan DA (i) dimana DA (i) durasi kegiatan sub-pertama dari kegiatan sebelumnya.
 

Perhitungan waktu earliest finish melibatkan pertimbangan yang serupa, kecuali bahwa finish and start-to-finish lag terlibat. Dalam kasus ini, maksimisasi atas syarat-syarat berikut ini diperlukan:
(10.15) EF (k) = Maksimum {ES (k) + D (k),
EF (i) + FF (i, k) untuk setiap kegiatan sebelumnya dengan didahulukan FF,
ES (i) + SF (i, k) untuk setiap kegiatan sebelumnya dengan didahulukan SF dan yang tidak terpecah,
EF (i) - D (i) + SF (i, k) untuk setiap kegiatan sebelumnya dengan didahulukan SF dan yang dibagi}

Akhirnya, kebutuhan untuk membagi suatu kegiatan juga dipertimbangkan. Jika waktu earliest finish mungkin lebih besar dari waktu earliest start ditambah durasi aktivitas, maka aktivitas harus dibagi.
 

Lain kemungkinan perpanjangan perhitungan dalam Tabel 10-9 penjadualan akan mencakup kemampuan durasi modifikasi selama forward pass dan backward pass. Kemampuan ini akan memungkinkan kalender kerja alternatif untuk kegiatan yang berbeda atau untuk modifikasi untuk mencerminkan efek dari waktu tahun pada jangka waktu kegiatan. Misalnya, durasi kerja di luar selama musim dingin akan meningkat. Sebagai contoh lain, kegiatan akhir pekan dengan pekerjaan diijinkan mungkin hari kerja mereka jangka waktu yang diperpendek untuk mencerminkan prestasi kerja akhir pekan.
 

Contoh 10-4: Dampak hubungan precedence dan windows
 

Untuk menggambarkan dampak dari hubungan diutamakan yang berbeda, pertimbangkan sebuah proyek terdiri dari hanya dua kegiatan selain ke awal dan selesai. Awal adalah kegiatan nomor 0, kegiatan pertama adalah nomor 1, kegiatan yang kedua adalah nomor 2, dan menyelesaikan adalah 3 kegiatan. Setiap kegiatan yang diasumsikan memiliki durasi lima hari. Dengan hubungan finish-ke-start langsung diutamakan tanpa lag, perhitungan jalur kritis mengungkapkan:
ES (0) = 0
ES (1) = 0
EF (1) = ES (1) + D (1) = 0 + 5 = 5
ES (2) = EF (1) + FS (1,2) = 5 + 0 = 5
EF (2) = ES (2) + D (2) = 5 + 5 = 10
ES (3) = EF (2) + FS (2,3) = 10 + 0 = 10 = EF (3)
 

Jadi waktu penyelesaian proyek yang paling awal adalah sepuluh hari.
 

Dengan kendala mulai untuk memulai diutamakan dengan keunggulan dua hari, perhitungan penjadualan:
ES (0) = 0
ES (1) = 0
EF (1) = ES (1) + D (1) = 0 + 5 = 5
ES (2) = ES (1) + SS (1,2) = 0 + 2 = 2
EF (2) = ES (2) + D (2) = 2 + 5 = 7
ES (3) = EF (2) + FS (2,3) = 7 + 0 = 7.
 

Dalam hal ini, aktivitas 2 dapat dimulai dua hari setelah dimulainya kegiatan 1 dan dilanjutkan secara paralel dengan aktivitas 1. Hasilnya adalah bahwa tanggal penyelesaian proyek turun dari sepuluh hari menjadi tujuh hari.
 

Akhirnya, anggaplah bahwa hubungan finish-ke-akhir diutamakan ada antara aktivitas 1 dan kegiatan 2 dengan tertinggal dua hari. Perhitungan penjadualan:
 

ES (0) = 0 = EF (0)
ES (1) = EF (0) + FS (0,1) = 0 + 0 = 0
EF (1) = ES (1) + D (1) = 0 + 5 = 5
ES (2) = EF (1) + FF (1,2) - D (2) = 5 + 2 - 5 = 2
EF (2) = ES (2) + D (2) = 2 + 5 = 7
ES (3) = EF (2) + FS (2,3) = 7 + 0 = 7 = EF (3)
 

Dalam hal ini, selesai paling awal untuk kegiatan 2 adalah pada tujuh hari untuk memungkinkan jeda dua hari yang diperlukan dari penyelesaian aktivitas 1. Waktu penyelesaian proyek minimum adalah lagi tujuh hari.
 

Contoh 10-5: Penjadualan di hadapan lead dan Windows.
 

Sebagai contoh kedua dari perhitungan penjadualan yang terlibat di hadapan Leads, tertinggal dan Windows, kita akan melakukan perhitungan yang diperlukan untuk proyek ditunjukkan dalam Gambar 10-15. Mulai dan kegiatan akhir termasuk dalam diagram proyek, membuat total sebelas kegiatan. Windows berbagai jangka waktu untuk kegiatan dirangkum dalam Tabel 10-10 dan hubungan diutamakan muncul dalam Tabel 10-11. Hanya mulai paling awal (WES) dan terbaru selesai (WLF) Windows kendala termasuk dalam masalah ini misalnya. Semua empat jenis hubungan diutamakan termasuk dalam proyek ini. 

Perhatikan bahwa dua kegiatan dapat memiliki lebih dari satu jenis hubungan diutamakan pada saat yang sama, dalam hal ini, kegiatan 2 dan 5 memiliki keduanya SS dan FF precedences. Dalam Gambar 10-15, prioritas yang berbeda hubungan yang ditunjukkan oleh link yang menghubungkan node aktivitas. Jenis hubungan diutamakan ditunjukkan oleh awal atau titik akhir dari setiap anak panah. Misalnya, mulai-ke-start precedences pergi dari bagian kiri dari kegiatan sebelumnya ke bagian kiri dari kegiatan berikut. Penerapan algoritma sorting kegiatan (Tabel 10-9) mengungkapkan bahwa jumlah kegiatan yang ada sesuai untuk algoritma jalur kritis. Angka-angka ini kegiatan akan digunakan dalam perhitungan lulus maju dan mundur.


Gambar 10-15 Contoh Jaringan Proyek dengan Precedences Timbal

TABEL 10-10 pendahulu, tabiin, Windows dan Durasi untuk Proyek Contoh
Kegiatan Nomor
Pendahulu
Penerus
Terlama Mulai Windows
Latest Finish Windows
Aktivitas Durasi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
---
0
0
1
0
2, 2
1, 3
4, 5
4, 5
6, 7
8, 9
1, 2, 4
3, 4, 6
5
6
7, 8
7, 8
9
9
10
10
---
---
---
---
2
---
---
6
---
---
---
---
---
---
---
---
---
16
16
---
---
16
---
0
2
5
4
3
5
6
2
4
5
0

TABEL 10-11 Precedences dalam Contoh Proyek Sebelas Aktivitas
Pendahulu
Penerus
Jenis
Leads
0
0
0
1
1
1
2
2
3
4
4
5
5
6
7
8
9
1
2
4
3
4
6
5
5
6
7
8
7
8
9
9
10
10
FS
FS
FS
SS
SF
FS
SS
FF
FS
SS
FS
FS
SS
FF
FS
FS
FS
0
0
0
1
1
2
2
2
0
2
0
1
3
4
0
0
0

Selama perhitungan Lemparan ke depan (Tabel 10-9), mulai awal dan waktu selesai paling awal dihitung untuk setiap kegiatan. Perhitungan yang relevan adalah:

ES (0) = EF (0) = 0
ES (1) = Max {0; EF (0) + FS (0,1)} = Max {0; 0 + 0} = 0.
EF (1) = ES (1) + D (1) = 0 + 2 = 2
ES (2) = Max {0; EF (0) + FS (0,1)} = Max {0; 0 + 0} = 0.
EF (2) = ES (2) + D (2) = 0 + 5 = 5
ES (3) = Max {0; WES (3); ES (1) + SS (1,3)} = Max {0, 2, 0 + 1} = 2.
EF (3) = ES (3) + D (3) = 2 + 4 = 6


Perhatikan bahwa dalam perhitungan mulai paling awal untuk kegiatan 3, mulai ditunda agar konsisten dengan Windows waktu mulai paling awal.

ES (4) = Max {0; ES (0) + FS (0,1); ES (1) + SF (1,4) - D (4)} = Max {0; 0 + 0; 0 +1 -3} = 0.
EF (4) = ES (4) + D (4) = 0 + 3 = 3
ES (5) = Max {0; ES (2) + SS (2,5); EF (2) + FF (2,5) - D (5)} = Max {0, 0 2; 5 +2 -5} = 2
EF (5) = ES (5) + D (5) = 2 + 5 = 7
ES (6) = Max {0; WES (6); EF (1) + FS (1,6); EF (3) + FS (3,6)} = Max {0, 6; 2 +2; 6 0} = 6
EF (6) = ES (6) + D (6) = 6 + 6 = 12
ES (7) = Max {0; ES (4) + SS (4,7); EF (5) + FS (5,7)} = Max {0, 0 2, 7 +1} = 8
EF (7) = ES (7) + D (7) = 8 + 2 = 10
ES (8) = Max {0; EF (4) + FS (4,8); ES (5) + SS (5,8)} = Max {0, 3 0;} 2 +3 = 5
EF (8) = ES (8) + D (8) = 5 + 4 = 9
ES (9) = Max {0; EF (7) + FS (7,9); EF (6) + FF (6,9) - D (9)} = Max {0, 10 0; 12 4 -5} = 11
EF (9) = ES (9) + D (9) = 11 + 5 = 16
ES (10) = Max {0; EF (8) + FS (8,10); EF (9) + FS (9,10)} = Max {0, 9 0; 16 0} = 16
EF (10) = ES (10) + D (10) = 16

Sebagai hasil dari perhitungan ini, waktu penyelesaian proyek yang paling awal ditemukan menjadi 16 hari.

Lulus hasil perhitungan mundur dalam menyelesaikan terbaru dan waktu mulai terbaru untuk setiap kegiatan. Perhitungan ini:

LF (10) = LS (10) = ES (10) = EF (10) = 16
LF (9) = Min {WLF (9); LF (10); LS (10) - FS (9,10)} = Min {16; 16; 16-0} = 16
LS (9) = LF (9) - D (9) = 16 - 5 = 11
LF (8) = Min {LF (10); LS (10) - FS (8,10)} = Min {16; 16-0} = 16
LS (8) = LF (8) - D (8) = 16 - 4 = 12
LF (7) = Min {LF (10); LS (9) - FS (7,9)} = Min {16; 11-0} = 11
LS (7) = LF (7) - D (7) = 11 - 2 = 9
LF (6) = Min {LF (10); WLF (6); LF (9) - FF (6,9)} = Min {16; 16; 16-4} = 12
LS (6) = LF (6) - D (6) = 12 - 6 = 6
LF (5) = Min {LF (10); WLF (10); LS (7) - FS (5,7); LS (8) - SS (5,8) + D (8)} = Min {16 ; 16; 9-1; 03/12 4} = 8
LS (5) = LF (5) - D (5) = 8-5 = 3
LF (4) = Min {LF (10); LS (8) - FS (4,8); LS (7) - SS (4,7) D (7) +} = Min {16; 12-0; 9-2 +2} = 9
LS (4) = LF (4) - D (4) = 9-3 = 6
LF (3) = Min {LF (10); LS (6) - FS (3,6)} = Min {16; 6-0} = 6
LS (3) = LF (3) - D (3) = 6-4 = 2
LF (2) = Min {LF (10); LF (5) - FF (2,5); LS (5) - SS (2,5) D (5) +} = Min {16; 8-2; 3-2 5} = 6
LS (2) = LF (2) - D (2) = 6-5 = 1
LF (1) = Min {LF (10); LS (6) - FS (1,6); SF (1, -; - Lf (4) LS (3) SS (1,3) D (3) + 4) + D (4)}
LS (1) = LF (1) - D (1) = 2 -2 = 0
LF (0) = Min {LF (10); LS (1) - FS (0,1); LS (2) - FS (0,2); LS (4) - FS (0,4)} = Min {16; 0-0; 1-0; 6-0} = 0
LS (0) = LF (0) - D (0) = 0


Waktu mulai paling awal dan terakhir untuk masing-masing kegiatan dirangkum dalam Tabel 10-12. Kegiatan tanpa mengapung adalah 0, 1, 6, 9 dan 10. Kegiatan ini juga merupakan jalur kritis dalam proyek. Perhatikan bahwa kegiatan 6 dan 9 berhubungan dengan finish-ke-akhir diutamakan dengan lag 4 hari. Penurunan lag ini akan mengakibatkan pengurangan durasi proyek secara keseluruhan. 

TABEL 10-12 Ringkasan Aktivitas Start dan Finish Times, untuk Contoh Soal
Aktivitas
Terlama Mulai
Latest Mulai
Mengapung
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
0
0
0
2
6
8
5
11
16
0
0
1
2
6
3
6
9
12
11
16
0
0
1
2
6
1
0
1
7
0
0

AddThis